Materiale Corso


Istituzioni di geometria superiore

Docente: Massimiliano Pontecorvo

Esercitatore:

Tutorato: Alexandra Otiman


  • Lezione
    23 / 09 - Presentazione del corso. Ripasso di topologia: varieta' topologiche, spazi e applicazioni quoziente. 26 / 09 - Lemma dell'applicazione chiusa. Esempi di curve e superfici come spazi quoziente: cerchio e cilindro. 30 / 09 - Esempi di superfici come quozienti di poligoni e loro etichette. Sfera, Toro, Piano proiettivo reale. 03 / 10 - Complessi simpliciali ("triangolazioni"). Triangolazioni di varieta' topologiche e classificazione delle 1-varieta'. 04 / 10 - Superfici come poligoni etichettati. Esempi e proprieta'. 07 / 10 - Somma connessa di due superfici. L'etichetta della somma connessa e' la giustapposizione delle etichette. Chirurgia topologica e etichette standard. 10 / 10 - Fine della dimostrazione etichette standard. Orientazione di un triangolo, di una triangolazione e di una superficie. 11 / 10 - Raffinamento di una tringolazione e raffinamento comune a due triangolazioni. L'orientabilita' e’ un invariate topologico. Esempi. Caratteristica di Eulero di una triangolazione finita e caratteristica di Eulero di uno spazio topologico. Anche la caratteristica di Eulero e’ un invariate topologico. Esempi. 14 / 10 - Uso di orientabilita' e caratteristica di Eulero per completare la dimostrazione della classificazione topologica delle superfici. Cenni al caso di dimensione piu' alta. 17 / 10 - Curve liscie in R^3. Proprieta' topologiche, esempi. Parametrizzazioni liscie e parametrizzazioni regolari, ascissa curvilinea. 18 / 10 - La lunghezza e' una proprieta' geometrica. Ogni curva regolare puo' essere riparametrizzata a velocita' costante, dimostrazione e esempi. Le rette sono le curve di lunghezza minima nello spazio euclideo. 21 / 10 - Curve biregolari in R^3, versore normale e curvatura. Il caso delle curve piane: crvatura con segno e dimostarzione del teorema fondamentale della geometria locale delle curve. 24 / 10 - Superfici regolari in R^3, definizione e esempi. Varieta' lisce. Carte locali. 25 / 10 - Superfici di tipo grafico. Superfici come immagine inversa di valori regolari. Esempi. 04 / 11 - Il piano tangente a una superficie regolare in un punto. La derivata di un'applicazione e' l'applicazione lineare che manda il vettore tangente a una curva, nel vettore tangente alla curva immagine. Il piano tangente in coordinate locali. 07 / 11 - Il piano tangente a una superficie di tipo immagine inversa di valore regolare. Funzioni e applicazioni liscie su superfici. Diffeomorfismi. 18 / 11 -- Deriavata di applicazioni su superfici.Punti critici, esempi. La derita di un diffeomorfismo e' un isomorfismo lineare e viceversa, localmente. Prodotto vetoriale nello spazio Euclideo. 21 / 11 -- Versore normale a una superficie in R^3. Applicazione di Gauss e orientabilita'. Il nastro di Moebius e' non-orientabile. Condizioni di orientabilita'. Metriche Riemanniane su varieta' lisce. Esempio: la prima forma fondamentale di una superficie nello spazio Euclideo, esempi. 25 / 11 -- Curvatura di una superficie in R^3. La derivata dell'applicazione di Gauss e' un operatore autoaggiunto sullo spazio tangente. I suoi due autolori si dicono curvature principali. Curvatura di Gauss e Curvatura Media. 28 / 11 -- Punti ellittici, iperbolici etc. Per caloclare la curvatura delle superfici introduciamo la seconda forma fondamentale. Proprieta' algebriche, direzioni asintotiche. 02 / 12 -- Significato geometrico della seconda forma fondamentale: curvatuta normale di una curva su una superficie. Teorema di Meusnier. Sezioni normali a una superficie in R^3. 05 /12 -- Calcolo della curvatura in cooordimate locali. Hessiano di una funzione in un suo punto critico. 09 / 12. Applicazioni geometriche: segno della cuvatura di Gauss e posizione del piano tangente; ogni superficie compatta in R^3 ha punti ellittici. 12 / 12. Geometria globale delle Superfici: l'applicazione di Gauss e' suriettiva per ogni superficie compatta; le uniche superfici con solo punti ombellicali sono il piano e la sfera. Isometrie tra superfici. Significato geometrico e esempi. 16 / 12 Introduzione al Theorema Egregium di Gauss: la sfera e' localmente isometrica al piano? Problema cartografico. Coordinate isoterme: ogni superficie orientata e' una superficie di Riemann. Simboli di Christoffel. 09 / 01 -- Dimostrazione del Theorema Egregium. Applicazioni: la sfera non \`e localmente isometrica al piano. Il teorema non si inverte: esempio di due superfici non-isometriche con stessa curvatura di Gauss.

  • Programma del corso     


  • Avvisi
    L'esame di mercoledi' 24 giugno sara' solo orale e a distanza. Per poter sostenere l'esame occorre: 1) Prenotarsi su Gomp. 2) Collegarsi al sito del corso sulla piattaforma Teams di Ateneo e chiedere di essere aggiunti al Team GE310 all'indirizzo https://teams.microsoft.com/l/team/19%3a4abecf8a71c74d4792f7913b84760f1c%40thread.tacv2/conversations?groupId=96c8279c-b71a-4342-b645-e183710c7f87&tenantId=ffb4df68-f464-458c-a546-00fb3af66f6a

 

  • Esercitazioni

    Titolo - descrizione

    File

    Compiti a casa Parte 1.
    Compiti a casa. Parte 2. Da consegnare il 6 dicembre.
    Compito 3 Consegnare il 20 dicembre
    Compito 4. Consegna 10 gennaio 2020 (nuova versione es.1.2)

     

  • Tutorato

    Titolo - descrizione

    File

    Laboratorio Curve File .txt da copiare e incollare su un "notebook" di Mathematica
    Secondo Laboratorio. Triedro di Frenet, visulaizzazione e curvatura.
    Visulaizzazione superfici
    Laboratorio del 6 dicembre
    Laboratorio del 13 dicembre
    Tesine per il laboratorio di Mathematica

     

  • Esoneri

    Esonero

    Tipologia

    File

     

  • Esami

    Esame

    Tipologia

    File


  • Note