Materiale Corso


Istituzioni di analisi superiore

Docente: Pierpaolo Esposito

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  • Lezione
    N. 1 (24/9/2019) Ripasso dell'integrale di Riemann; necessità della costruzione di Lebesgue; sigma-algebre; funzioni misurabili; definizione di misura positiva (cap. 1, 1.2-1.3,1.6,1.18) N. 2 (27/9/2019) Sigma-algebra generata da una famiglia F di insiemi; insiemi di Borel; pre-immagini di insiemi di Borel tramite fz. misurabile sono misurabili; topologia in [-∞,+∞]; relazione tra topologia indotta e misurabilità di una restrizione; caratterizzazione della misurabilità per f: X \to [-∞,+∞] in termini di sopralivelli; sup, inf, limsup, liminf e lim di successioni di fz. misurabili in [-∞,+∞] sono misurabili; max{f,g},min{f,g},f^+,f^-,|f| sono misurabili in [-∞,+∞] se f,g sono misurabili (cap. 1, 1.10-1.15) N. 3 (30/9/2019) Fz. semplici e approsimazione di fz. misurabili f:X \to [0,+∞] con una successione crescente di fz. semplici; aritmetica in [0,+∞]; f+g,fg sono misurabili se f,g:X \to [0,+∞]/R sono misurabili; definizione di integrale di Lebesgue (cap. 1, 1.16-1.17, 1.22-1.23) N. 4 (1/10/2019) Proprietà di base dell'integrale di Lebesgue; l'integrazione di una fz. semplice definisce una misura; proprietà delle misure positive; esempi (misura che conta, massa unitaria di Dirac); teorema di Lebesgue sulla convergenza monotona (cap. 1, 1.19-1.20, 1.24-1.26) N. 5 (4/10/2019) Linearità dell'integrale; integrazione di serie a termini positivi; serie doppie a termini positivi; Lemma di Fatou; misura generata da funzione misurabile nonnegativa; funzioni L^1(\mu) ed integrale di fz. reali; linearità dell'integrale (cap. 1, 1.27-1.33) N. 6 (7/10/2019) Teorema di Lebesgue sulla convergenza equidominata; fz. definite q.o.; teorema di Lebesgue per serie di fz. definite q.o.; relazioni tra integrali nulli e fz. nulle q.o. (cap. 1, 1.34-1.35, 1.37-1.39) N. 7 (8/10/2019) Teorema della media; misura del "limite superiore" di una famiglia di insiemi con serie delle misure finita; spazi vettoriali e funzionali lineari; l'integrazione come funzionale lineare e cenni al Teorema della rappresentazione di Riesz; richiami topologici: aperti, chiusi, chiusura, compattezza (per ricoprimenti), intorni aperti, spazi di Hausdorff, spazi localmente compatti (cap. 1, 1.40-1.41; cap. 2, 2.1-2.3) N. 8 (11/10/2019) Chiusi in un compatto sono compatti; separazione tra compatti e punti; compatti sono chiusi; proprietà dell'intersezione finita per compatti; separazione di compatti ed aperti tramite aperti a chiusura compatta; supporto di una fz.; C_c(X) è spazio vettoriale (cap. 2, 2.4-2.7, 2.9) N. 9 (15/10/2019) Fz. semicontinue inferiormente/superiormente e loro proprietà; l'insieme dei valori di una fz. in C_c(X) è compatto; Lemma di Urysohn (cap. 2, 2.8, 2.10-2.12). N. 10 (18/10/2019) Partizione dell'unità; enunciato del Teorema della rappresentazione di Riesz e commenti; costruzione della misura mu e della sigma-algebra dei misurabili M; subadditività della misura costruita; M_F contiene aperti di misura finita e compatti (cap. 2, 2.13-2.14-(3)). N. 11 (21/10/2019) Sigma-additività in M_F; M_F è chiuso per unioni, intersezioni e differenze; M è una sigma-algebra contenente i Boreliani; caratterizzazione di M_F in termini di M; mu è una misura su M (cap. 2, 2.14-(4)-2.14-(9)). N. 12 (22/10/2019) La misura mu rappresenta il funzionale Lambda; esercizi (cap. 2, 2.14-(10)). N. 13 (25/10/2019) Esercizi. N. 14 (28/10/2019) Esercizi. N. 15 (29/10/2019) Esercizi. N. 16 (4/11/2019) La misura mu è regolare se X è sigma-compatto; ogni misura di Borel positiva, finita sui compatti è regolare se ogni aperto di X è sigma-compatto (cap. 2, 2.15-2.18). N. 17 (5/11/2019) Costruzione della misura di Lebesgue (cap. 2, 2.19-2.20-(b)) N. 18 (8/11/2019) Invarianza per traslazioni ed unicità della misura di Lebesgue. Esempio di un insieme non Lebesgue-misurabile; Teorema di Lusin (cap. 2, 2.20-(c)-2.23). N. 19 (18/11/2019) Correzione I esonero. Funzioni convesse e disuguaglianza di Jensen. (cap. 3, 3.1-3.3) N. 20 (19/11/2019) Disuguaglianza di Holder e di Minkowski; spazi L^p; L^∞ ed estremo superiore essenziale; completezza di L^p e L^∞; successioni di Cauchy in L^p hanno sottosuccessioni convergenti puntualmente (cap. 3, 3.4-3.12) N. 21 (22/11/2019) Densità in L^p delle funzioni continue a supporto compatto; C_0(X) è il completamento di C_c(X). Spazi di Hilbert; disuguaglianza di Schwarz e triangolare. Esempi di spazi di Hilbert: R^n e L^2 (cap. 3, 3.13-3.17; cap. 4, 4.1-4.5) N. 22 (25/11/2019) Esercizi. N. 23 (26/11/2019) Esercizi. N. 24 (2/12/2019) Proiezione su sottospazi chiusi in spazi di Hilbert; spazio ortogonale; rappresentazione di funzionali lineari e continui (cap. 4, 4.7-4.12). N. 25 (3/12/2018) Misurabilità su spazi prodotto; sezioni di insiemi misurabili sono misurabili; teorema di Fubini su rettangoli; misura prodotto (cap. 7, 7.1-7.2 e 7.6-7.7)

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    Esercitazione 28/10/2019 Testo
    Esercitazione 22/10/2019 Testo
    Esercitazione 28/10/2019 Soluzioni
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    Esercitazione 29/10/2019 Testo
    Esercitazione 25/10/2019 Testo
    Esercitazione 29/10/2019 Soluzioni
    Esercitazione 25/10/2019 Soluzioni
    Esercitazione 25/11/2019 Testo
    Esercitazione 25/11/2019 Soluzioni
    Esercitazione 26/11/2019 Testo
    Esercitazione 26/11/2019 Soluzioni

     

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