Materiale Corso


AM120 Analisi matematica 2

Docente: Emanuele Haus

Esercitatore: Silvia Mataloni

Tutorato: Daniele Salierno Jacopo Tenan


  • Lezione
    Gli argomenti contrassegnati da (*) sono quelli di cui è stata svolta la dimostrazione a lezione. Lezioni 1 e 2 (26/2/2019): Definizione di rapporto incrementale e di funzione derivabile. Interpretazione geometrica della derivata e definizione di retta tangente al grafico di una funzione. Interpretazione dinamica del concetto di derivata. La derivabilità implica la continuità (*). Equivalenza tra derivabilità e differenziabilità. Definizione di derivata sinistra e destra, punti angolosi e cuspidi. Linearità dell'operatore derivata. Teorema di derivazione del prodotto (regola di Leibniz) (*) e del rapporto (*). Teorema di derivazione della funzione composta (regola della catena) (*). Teorema di derivazione della funzione inversa (*). Lezioni 3 e 4 (1/3/2019): Definizione e prime proprietà dei simboli di Landau (*). Regola della catena inversa (*). Definizione di massimo e minimo locale. Definizione di punto critico. Lezioni 5 e 6 (5/3/2019): Teorema di Fermat sui punti estremali (*). Teorema di Rolle (*). Teorema del valor medio di Cauchy (*). Teorema del valor medio di Lagrange (*). Esempio di funzione derivabile in un punto con derivata non nulla, ma localmente non invertibile, né continua in un intorno del punto. Lezioni 7 e 8 (8/3/2019): Invertibilità locale delle funzioni derivabili in un intorno di un punto, con derivata non nulla nel punto (*). Teorema di Darboux dei valori intermedi (*) ([MS], Teorema 14, Capitolo 8). Esempio di funzione derivabile su un intervallo con derivata non continua. Teorema di Bernoulli-Hôpital (*): prima parte. Lezioni 9 e 10 (12/3/2019, Michela Procesi): Teorema di Bernoulli-Hôpital (*): seconda parte. Definizione di primitiva e prime proprietà. Lezioni 11 e 12 (15/3/2019): Linearità delle primitive (*), calcolo delle primitive per parti (*) e per sostituzione (*). Definizione di derivata seconda e legame con massimi e minimi (*). Definizione di birapporto incrementale. Simmetria del birapporto incrementale nelle variabili (*). Definizione di funzione convessa. Lezioni 13 e 14 (19/03/2019): caratterizzazione delle funzioni convesse in termini del birapporto incrementale (*). Funzioni convesse: loro continuità ed esistenza delle derivate laterali (*). Definizione di retta d'appoggio e legame con la convessità (*). Legame della convessità con la derivata prima (*) e con la derivata seconda (*). Funzioni strettamente convesse e loro proprietà. Lezioni 15 e 16 (22/03/2019): Unicità del minimo per funzioni strettamente convesse (*). Derivate di ordine superiore. Funzioni di classe C^n e C^infinito. Zeri di ordine n e di ordine superiore a n. Zeri di ordine superiore a n e annullamento delle prime n derivate (*). Lezioni 17 e 18 (26/03/2019): Definizione di polinomio di Taylor e resto di Taylor di ordine n. Teorema di Taylor-Peano (*). Sviluppi di Maclaurin di alcune funzioni elementari. Esempio di funzione C^infinito, non sviluppabile in serie di Taylor (*). Lezioni 19 e 20 (29/03/2019): legame della natura dei punti critici con la derivata non nulla di ordine più basso (*). Esempi di calcolo di sviluppo di Taylor di funzioni composte. Introduzione alla teoria dell'integrazione secondo Riemann. Definizione di partizione di un intervallo limitato. Definizione di raffinamento di una partizione e del raffinamento di due partizioni date. Definizione di somme inferiori e somme superiori di Riemann. Lezioni 21 e 22 (02/04/2019): comportamento di somme superiori e inferiori di Riemann rispetto ai raffinamenti delle partizioni (*), separazione della classe delle somme superiori dalla classe delle somme inferiori (*). Definizione di funzione integrabile e di integrale secondo Riemann. Definizione di funzione caratteristica di un insieme e di funzione costante a tratti. Integrabilità delle funzioni costanti a tratti (*). Primo criterio di integrabilità (*). Definizione e prime proprietà dell'oscillazione di una funzione limitata. Secondo criterio di integrabilità (*). Approssimazione dell'integrale con una somma di Riemann rispetto a un'opportuna partizione e a una qualsiasi scelta di punti (*). Lezioni 23 e 24 (05/04/2019): Linearità dell'integrale (*). Se f è integrabile, lo sono anche la sua parte positiva, la sua parte negativa e il suo valore assoluto (*). Se f e g sono integrabili, lo sono anche il massimo e il minimo tra f e g ed è integrabile anche il prodotto fg (*). L'integrale preserva le disuguaglianze (*). Il valore assoluto dell'integrale è stimato dall'integrale del valore assoluto (*). Una funzione integrabile su un intervallo è integrabile su ogni sottointervallo (*). L'integrale su un intervallo E è uguale alla somma degli integrali sugli intervalli di una partizione di E. Lezioni 25 e 26 (16/04/2019): Terzo criterio di integrabilità (*). Quarto criterio di integrabilità (*). Integrabilità delle funzioni continue (*). Lezioni 27 e 28 (17/04/2019): Integrabilità delle funzioni monotone (*). Definizione di funzione integrale. Definizione di incremento. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale, Parte I e II (*). Teorema della media integrale (*). Integrale per parti e cambio di variabile per integrali definiti (*). Lezioni 29 e 30 (30/04/2019): Formula di Taylor con resto integrale (*). Integrali generalizzati: definizione e prime osservazioni. Integrale generalizzato di x^alpha. Lezioni 31 e 32 (03/05/2019): Esercizi sulle funzioni integrali. Criteri per la convergenza dell'integrale generalizzato: confronto (*), confronto asintotico (*), confronto con le serie (*), convergenza assoluta (*). Definizione di convergenza assoluta di un integrale generalizzato. Lezioni 33 e 34 (07/05/2019): esempio di funzione integrabile in senso generalizzato, il cui integrale non converge assolutamente (*). Definizione di convergenza uniforme di una successione di funzioni (*). Scambio del limite con l'integrale (*). La moltiplicazione per una funzione limitata preserva la convergenza uniforme (*). Valore dell'integrale di Gauss (*). Lezioni 35 e 36 (08/05/2019): Definizione di dominio normale e area di un dominio normale. Lunghezza di un segmento e distanza euclidea. Definizione di poligonale e sua lunghezza. Poligonale inscritta nel grafico di una funzione. Lunghezza del grafico di una funzione come limite di approssimazione con poligonali inscritte nel grafico (*). Enunciato della formula di Stirling. Rappresentazione del fattoriale mediante integrale generalizzato (*). Lezioni 37 e 38 (10/05/2019): Dimostrazione della formula di Stirling (*). Lezioni 39 e 40 (14/05/2019): R^2 come spazio vettoriale, coordinate polari, prodotto scalare, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (*), disuguaglianza triangolare (*), norma e distanza euclidea: proprietà. Definizione di campo complesso C e prime proprietà. R come sottoinsieme di C. Definizione di modulo e di coniugato di un numero complesso. Parte reale e parte immaginaria. Lezioni 41 e 42 (15/05/2019): significato geometrico del prodotto di numeri complessi. Successioni e serie di numeri complessi. Serie geometrica. Serie esponenziale. Formula di De Moivre. Rappresentazione polare e radici n-esime di un numero complesso. Funzioni trigonometriche e iperboliche di variabile complessa. Aperti, chiusi e compatti del piano complesso. Teoremi di Weierstrass e di Bolzano-Weierstrass. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra. Lezioni 43 e 44 (17/05/2019): dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra (*). Lezioni 45 e 46 (28/05/2019, Michela Procesi): esercizi in preparazione al secondo esonero. Lezioni 47 e 48 (31/05/2019, Michela Procesi): simulazione di secondo esonero.

  • Programma del corso     


  • Avvisi
    [Avviso del 12/09/2019]: potete trovare online testo, soluzioni e esito dell'appello X. Come d'abitudine, chi ha superato lo scritto può sostenere la prova orale su appuntamento, senza vincoli di calendario. Quando desiderate sostenere la prova orale, scrivetemi con almeno una settimana di anticipo, così da fissare l'appuntamento. Se volete visionare la vostra prova scritta (sufficiente o insufficiente), potete farlo nell'orario standard di ricevimento (martedì 16-18) oppure su appuntamento da prendere via email. [Avviso del 15/07/2019]: per gli esami orali, nel mese di settembre sarò disponibile a partire da lunedì 2 settembre. Ricordo che chi ha superato gli esoneri o una prova scritta può sostenere la prova orale in qualsiasi appello successivo. Però vi chiedo di prenotarvi comunque su GOMP in qualche appello per la prova orale: soprattutto, è molto importante che facciate il questionario sulla didattica. [Avviso del 12/07/2019]: martedì prossimo, 16 luglio, non ci sarò al pomeriggio per il ricevimento. La prossima settimana sarò comunque disponibile per il ricevimento su appuntamento. [Avviso del 28/06/2019]: Avviso relativo alle prove orali, destinato agli studenti che abbiano già superato gli esoneri o la prova scritta. Per prenotarsi per le prove orali, mandatemi un'email almeno una settimana prima del momento in cui vorreste sostenere la prova orale. In questo modo, potrò organizzare un calendario e riunirvi a piccoli gruppetti. Ovviamente, non potrò esaudire richieste di fare l'orale esattamente in un giorno e a un'ora precisa, ma lo scopo di questo modo di procedere è di darvi la possibilità di sostenere l'orale quando siete pronti, invece di vincolarvi a una sola data per mese. Se dovete sostenere la prova orale, prenotatevi anche su GOMP per l'appello scritto immediatamente precedente. [Avviso del 17/06/2019]: Gli studenti che hanno superato gli esoneri e quelli che, in seguito, avranno superato la prova scritta di un appello, possono contattarmi quando preferiscono per concordare la data della prova orale, con almeno una settimana di anticipo. Prima della pausa estiva, sono disponibile per gli orali fino alla settimana del 22-26 luglio inclusa.

 

  • Materiale didattico

    Titolo - descrizione

    File

     

  • Tutorato

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    File

    Tutorato 1
    Tutorato 2
    Tutorato 3
    Tutorato 4
    Tutorato 7
    Tutorato 8
    Tutorato 9
    Tutorato 5
    Tutorato 6

     

  • Esoneri

    Esonero

    Tipologia

    File

    Esonero I testo
    Esonero I soluzioni
    Esonero I risultati
    Esonero II testo
    Esonero II soluzioni
    Esonero II risultati

     

  • Esami

    Esame

    Tipologia

    File

    Appello A testo
    Appello A soluzioni
    Appello A risultati
    Appello B testo
    Appello B soluzioni
    Appello B risultati
    Appello X testo
    Appello X soluzioni
    Appello X risultati

  • Note
    Testo di riferimento: Luigi Chierchia, Corso di Analisi, prima parte, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; Dispense AA 2018-2019, libreria Efesto. Tutto ciò che nel diario delle lezioni non è indicato con un'altra referenza si trova sul testo di riferimento. Altri testi: [MS] Carlamaria Maderna, Paolo Maurizio Soardi, "Lezioni di Analisi Matematica", Milano: CLUED, 1984.