Lezione
Questo diario delle lezioni fungerà da programma dettagliato del corso. (Sono escluse dal diario le esercitazioni tenute dal docente.)
Degli argomenti contrassegnati con (*) non verrà chiesta la dimostrazione in sede di esame agli studenti di fisica.
Lezione 20/9/22: Convergenza puntuale di successioni e serie di funzioni. Esempi. Definizione di convergenza uniforme e di norma-infinito. Esempi. Teorema: la convergenza uniforme preserva la continuità.
Lezione 21/9/22: Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale: dimostrazione sotto l'ipotesi di continuità; dimostrazione(*) nel caso generale. Esempi. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata (dimostrazione solo nel caso in cui la successione di funzioni sia di classe C^1).
Lezione 27/9/22: Condizioni sufficienti per la convergenza uniforme: criterio di monotonia in n del Dini(*), criterio di monotonia in x(*). Serie di funzioni: definizione di convergenza totale. La convergenza totale implica la convergenza uniforme. Esempio: non vale il viceversa.
Lezione 28/9/22: Serie di potenze: definizione ed esempi. Raggio di convergenza. Le serie di potenze convergono totalmente in ogni intervallo compatto contenuto in (x_0-R, x_0+R). Criterio della radice per serie numeriche (con il limsup al posto del limite). Calcolo del raggio di convergenza. Le serie di potenze sono funzioni di classe C^infinito. Derivate delle serie di potenze. Ogni serie di potenze coincide con la propria serie di Taylor in x_0. Esempio di funzione di classe C^infinito che non coincide neppure localmente con la propria serie di Taylor.
Lezione 4/10/22: Definizione di funzione sviluppabile in serie di potenze in x_0 e di funzione analitica su un intervallo. Le serie di potenze sono funzioni analitiche in (x_0-R, x_0+R)(*). Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Introduzione informale alle serie di Fourier. Definizione di funzione periodica, di funzione continua a tratti e di funzione regolare a tratti. Le funzioni regolari a tratti sono integrabili e il loro integrale su un periodo non dipende dalla scelta dell'intervallo.
Lezione 5/10/22: Motivazione e definizione di coefficienti di Fourier e serie di Fourier di una funzione integrabile. Calcolo dei coefficienti di Fourier della funzione a dente di sega. Disuguaglianza di Bessel per funzioni integrabili. Teorema di convergenza puntuale per la serie di Fourier di funzioni regolari a tratti: enunciato.
Lezione 11/10/22: Teorema di convergenza puntuale per la serie di Fourier di funzioni regolari a tratti: dimostrazione. Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di convergenza totale della serie di Fourier per funzioni continue e regolari a tratti. Uguaglianza di Parseval.
Lezione 12/10/22: Esempi di calcolo della somma di serie numeriche mediante serie di Fourier. La serie di Fourier di una funzione f regolare a tratti converge uniformemente negli intervalli chiusi che non contengono punti di discontinuità di f (senza dimostrazione). Costruzione di una funzione continua in R, derivabile in nessun punto(*).
Lezione 18/10/22: Lo spazio vettoriale R^n, prodotto scalare, norma euclidea, distanza. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprietà immediate della norma e della distanza. Disuguaglianza triangolare (e disuguaglianza triangolare inversa) in R^n. Definizione di palla aperta di centro x e raggio r. Definizione di sottoinsieme aperto (e di sottoinsieme chiuso) di R^n nella topologia euclidea e proprietà. Definizione di chiusura, interno, frontiera di un sottoinsieme di R^n. Definizione di punto interno, punto d'accumulazione, punto isolato. Successioni di Cauchy e successioni convergenti in R^n: equivalenza delle due nozioni. Esercizio: la convergenza di una successione in R^n è equivalente alla convergenza di tutte le sue n componenti, viste come successioni in R.
Lezione 19/10/22: Caratterizzazione degli insiemi chiusi mediante convergenza di successioni. Il complementare dell'interno è la chiusura del complementare. La frontiera è l'intersezione tra la chiusura e la chiusura del complementare. Definizione di limite e di continuità per funzioni di più variabili. Equivalenza tra continuità e continuità per successioni. Somma, composizione, prodotto (scalare) e reciproco (nel caso scalare) di funzioni continue di più variabili sono funzioni continue. Teorema ("definizione topologica di continuità"): una funzione da R^n a R^m è continua se e solo se la controimmagine di ogni insieme aperto è un insieme aperto. Osservazione: la continuità di una funzione a valori vettoriali in R^m è equivalente alla continuità di tutte le sue m componenti, funzioni scalari a valori in R. Una funzione è continua in un punto interno al dominio se e solo se essa è continua lungo tutte le curve passanti per il punto.
Lezione 21/10/22: Esempio di funzione discontinua in quanto discontinua lungo le rette. Attenzione! Le rette non bastano: esempio di funzione "continua lungo le rette" passanti per il punto ma discontinua nel punto. Esempio di dimostrazione della continuità mediante stima algebrica. Definizione di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale. Esempi: prodotti scalari definiti su R^n mediante matrici definite positive, prodotto scalare sullo spazio di funzioni continue su un intervallo compatto. Definizione di spazio normato. Esempi. Definizione di norme-p su R^n. Definizione di norme equivalenti. Il prodotto scalare induce una norma. Definizione di spazio metrico.
Lezione 25/10/22: La norma induce una metrica. Esempio di spazio metrico la cui metrica non proviene da una norma. Definizione di successione di Cauchy e di successione convergente in uno spazio metrico. Definizione di spazio metrico completo. R^n è uno spazio metrico completo. Esempio di spazio metrico non completo (Q con la metrica standard indotta da R). Definizione di spazio di Hilbert e di spazio di Banach. Cenni alla costruzione astratta del completamento di uno spazio metrico mediante le successioni di Cauchy (NON fa parte del programma d'esame). Definizione di spazio topologico. La metrica induce una topologia. Definizione topologica di compattezza (da ogni ricoprimento aperto è possibile estrarre un sottoricoprimento finito). Teorema di Heine-Borel: in R^n essere topologicamente compatto equivale ad essere compatto per successioni ed equivale ad essere chiuso e limitato (enunciato e inizio della dimostrazione).
Lezione 27/10/22: Fine della dimostrazione del teorema di Heine-Borel. L'immagine continua di un insieme compatto è un insieme compatto. Teorema di Weierstrass. Uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Tutte le norme su R^n sono equivalenti tra loro.
Lezione 15/11/22: Definizione di insieme non connesso e di insieme connesso. Esempi. L'immagine continua di un insieme connesso è un insieme connesso. Definizione di insieme connesso per archi e connesso per poligonali. Esempi. Gli insiemi connessi per archi sono connessi(*). Gli aperti connessi sono connessi per poligonali(*): inizio della dimostrazione.
Lezione 16/11/22: Gli aperti connessi sono connessi per poligonali(*): fine della dimostrazione. Definizione di funzione differenziabile in un punto e di differenziale. La differenziabilità implica la continuità. Definizione di derivate parziali, gradiente e derivate direzionali in un punto. Se una funzione è differenziabile in un punto, allora essa ammette tutte le derivate direzionali in quel punto e tali derivate direzionali si ottengono facendo il prodotto scalare tra la direzione e il gradiente nel punto; il gradiente è inoltre il vettore che rappresenta il differenziale della funzione nel punto.
Lezione 22/11/22: Esempi relativi a differenziabilità, continuità, derivate parziali e direzionali. Teorema del differenziale totale: se tutte le derivate parziali di f esistono in un intorno di x e sono continue in x, allora f è differenziabile in x. Definizione di funzione di classe C^1. Le funzioni di classe C^1 sono differenziabili.
Lezione 23/11/22: Derivate parziali di ordini superiori. Notazione ed esempi. Definizione di funzione di classe C^m e C^infinito. Lemma di Schwarz.
Lezione 29/11/22: Norma operatoriale di matrici, definizione e prime proprietà. Teorema di derivazione della funzione composta. Esempi notevoli (derivata di una funzione scalare lungo una curva, derivate successive di una funzione scalare lungo un segmento). Definizione di matrice hessiana. Le funzioni con gradiente nullo su un aperto connesso sono costanti.
Lezione 30/11/22: Formula di Taylor con resto integrale, resto di Lagrange, resto di Peano (con O grande e o piccolo). Definizione di punto critico e di punti di massimo locale e di minimo locale.
Lezione 6/12/22: Richiami di geometria: matrici definite e semidefinite positive e negative e matrici indefinite, legame con gli autovalori. Teorema di Fermat per funzioni di più variabili: i punti estremali di funzioni C^1 sono punti critici. Condizioni del secondo ordine per funzioni C^2: se in un punto critico l'hessiano è definito positivo [negativo], il punto è di minimo [massimo] locale stretto: se in un punto critico l'hessiano è indefinito, il punto è di sella (in particolare, non è né di massimo né di minimo); se la funzione ha un minimo [massimo] locale, allora nel punto corrispondente l'hessiano è semidefinito positivo [negativo].
Lezione 7/12/22: Definizione di contrazione. Teorema di punto fisso: lemma delle contrazioni. Lo spazio delle funzioni continue su un compatto con la norma del sup è uno spazio di Banach. Integrazione di funzioni continue a valori vettoriali: la norma dell'integrale è minore o uguale all'integrale della norma.
Lezione 13/12/22: Teorema della funzione implicita: enunciato e dimostrazione.
Lezione 14/12/22: Regolarità (differenziabilità e derivate successive) delle funzioni definite implicitamente (senza dimostrazione). Calcolo di derivate e sviluppi di Taylor di funzioni definite implicitamente: esempi. Teorema della funzione inversa. Osservazione: per funzioni C^1 (anche C^infinito) da R^n a R^n l'invertibilità della matrice Jacobiana in ogni punto non implica l'iniettività globale (diversamente dal caso 1-dim.).
