Lezione
Lezione 19/9/22: Distribuzioni: motivazione e definizione. Ordine di una distribuzione. Convergenza nello spazio delle distribuzioni. Derivata di una distribuzione e convergenza delle derivate di una successione di distribuzioni.
Lezione 21/9/22: Identificazione di L^1_loc come sottospazio di D'. La convergenza in L^1_loc implica la convergenza nel senso delle distribuzioni. Misure di Radon. Valore principale di 1/x. Esempi.
Lezione 22/9/22: Operazioni sulle distribuzioni: restrizione, complessa coniugata, traslazione, dilatazione, moltiplicazione per una funzione C^infinito. Esempi. Funzioni C^m a tratti. Formula dei salti in una dimensione. Derivata distribuzionale di log|x|.
Lezione 28/9/22: Primitiva di distribuzioni in una dimensione. Misura di superficie sul bordo di un aperto regolare in dimensione n. Teorema di Stokes. Formula dei salti in dimensione n.
Lezione 3/10/22: Calcolo del Laplaciano distribuzionale di 1/r in R^3. Supporto di una distribuzione. Spazio E' delle distribuzioni a supporto compatto. Le distribuzioni a supporto compatto hanno ordine finito. Distribuzioni a supporto puntuale. Identificazione di E' come duale di C^infinito.
Lezione 5/10/22: Spazi di Sobolev H^m a indice intero (positivo e negativo). Identificazione di H^{-m} con lo spazio duale di H^m. Teoremi di derivazione e integrazione sotto la parentesi di dualità.
Lezione 6/10/22: Insiemi convolutivi. Convoluzione di distribuzioni con funzioni C^infinito. Continuità degli operatori di convoluzione.
Lezione 10/10/22: Caratterizzazione degli operatori di convoluzione mediante la commutazione con le traslazioni. Definizione di convoluzione tra due distribuzioni. Proprietà della convoluzione tra distribuzioni.
Lezione 12/10/22: Equazioni di convoluzione. Soluzione fondamentale. Applicazione al problema di Poisson su R^3. Le distribuzioni armoniche sono C^infinito. Teorema della media per funzioni armoniche e principio del massimo forte. Trasformata di Fourier di funzioni L^1.
Lezione 13/10/22: Trasformata di Fourier di una Gaussiana. Trasformata inversa di Fourier per funzioni con trasformata L^1. Definizione dello spazio S di Schwartz. La trasformata di Fourier è un isomorfismo di S in sé. Densità delle funzioni C^infinito a supporto compatto in S. Definizione dello spazio S' delle distribuzioni temperate.
Lezione 17/10/22: Identificazione di S' come spazio duale di S. Convergenza in S'. Esempi. Spazio O_M delle funzioni a crescita lenta assieme alle proprie derivate. Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Esempi. Calcolo della trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto compatto.
Lezione 19/10/22: Trasformata di Fourier in L^2 e proprietà di isometria. Trasformata di Fourier di un prodotto di convoluzione. Trasformata di Fourier parziale. Applicazioni: le distribuzioni temperate armoniche su R^n sono tutti e soli i polinomi armonici; calcolo della soluzione fondamentale dell'operatore di D'Alembert in R^3.
Lezione 20/10/22: Problema di Cauchy per l'equazione delle onde in R^3. Definizione di spazi di Sobolev con indice reale. Identificazione dello spazio H^(-s) come duale di H^s. Disuguaglianza di Peetre. Gli elementi di H^s(R^n) sono funzioni continue se s>n/2.
Lezione 24/10/22: Lo spazio H^s(R^n) è un'algebra purché s>n/2. Prodotti di funzioni Schwartz con funzioni H^s sono funzioni H^s, per ogni s reale. Restrizione a iperpiani di funzioni H^s: teorema di traccia. Spazio H^1(R^n_+) e spazi H^s sul bordo di un aperto limitato regolare.
Lezione 26/10/22: Applicazioni: disuguaglianza di Poincaré, problema di Dirichlet omogeneo e non omogeneo.